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Artificial intelligence and computer science are driving developments in many areas of society – including in scientific research. This has prompted the Max Planck Society and the Alexander von Humboldt Foundation to honour outstanding achievements in the use of algorithms in mathematics, microscopy and climate research in 2024: The Max Planck-Humboldt Research Award, endowed with 1.5 million euros, goes to Geordie Williamson, who was Advanced Researcher at the Max Planck Institute for Mathematics from 2011-2016, and is now Professor at the University of Sydney. Williamson uses artificial intelligence (AI) for his fundamental work in mathematics.

Scientists today use artificial intelligence in many areas, especially in the natural sciences, for tasks such as analysing data or images. In theoretical mathematics, on the other hand, AI has barely been used thus far. Now Geordie Williamson is aiming to change that. In his previous work he has already used artificial neural networks, which can guide mathematical intuition by drawing attention to previously unrecognised relationships in a large number of mathematical objects. Artificial intelligence can also help to generate examples or counterexamples that prove or disprove mathematical assumptions. Although artificial neural networks can recognise patterns in large data sets very efficiently and effectively, they know nothing about mathematics. It therefore remains the task of mathematicians to filter out the sensible proposals from AI, to interpret them and, in the case of new assumptions about mathematical relationships, to prove or disprove them. Geordie Williamson wants to optimise the possibilities of using AI in theoretical mathematics in the collaboration made possible by the Max Planck-Humboldt Research Award. To this end, he will work closely with researchers from the University of Bonn and the Max Planck Institute for Mathematics in Bonn, where he will also spend two periods of several months each.

Connecting the countable with geometry

Geordie Williamson's previous research work was characterised, among other things, by the fact that he brought together different fields such as combinatorics and geometry. In simple terms, combinatorics can be understood as the branch of mathematics that is dedicated to everything that can be counted; it includes subjects such as graph theory and discrete mathematics. Geometry is about objects in spaces, i.e. straight lines, surfaces, and solids, just like in school maths. Both sub-areas come together in a simple example when the intersection points of a curve and a surface are to be counted. Geordie Williamson has now opened up ways of solving combinatorics problems with geometric tools, for which purpose he first had to develop a kind of common mathematical language for the two fields so that combinatorial problems could be worked on in geometry, but geometry could also be translated into combinatorics. With this approach, Geordie Williamson has proved or disproved various assumptions that mathematicians have been working on intensively, but to no avail, for a long time.

For example, Williamson in collaboration with Ben Elias from the University of Oregon provided a general proof of an important conjecture in mathematics relating to Kazhdan-Lusztig polynomials. The work of David Kazhdan and George Lusztig provided precise recipes for building up certain mathematical objects out of constituent pieces. Imagine a recipe that contains a list of ingredients and instructions on what to do with them, but the recipe does not specify the quantities. Kazhdan and Lusztig hypothesised that there are polynomials in mathematics for such cases, from which the quantities for the recipe can be determined. Polynomials are formulae that are familiar to us in their simple form from the binomial formulae we study in school. Geordie Williamson has proven this assumption, for which evidence had previously been sought in vain for a long time. His methods, borrowed from geometry, also make it much easier to solve the polynomials that provide the unknown data and to analyse them in greater depth.

Solving knot theory problems with the help of AI

As part of the collaboration with researchers from the University of Bonn and the Max Planck Institute for Mathematics, all possible as a result of the award, Williamson will tackle various mathematical problems with the help of artificial intelligence. Amongst the problems that they will tackle is a problem in knot theory. In simple terms, this can be explained by the fact that it is often impossible to recognise whether knotted structures, such as in a string, are actually knotted. What this means is: does the knot remain intact when you pull on the ends of the cord or does it unravel? One aim of the project is to identify these cases in a simple way so that these uninteresting cases can be quickly filtered out and the researchers can focus on the real knots. AI is set to provide support here and assistance in gaining new mathematical insights. Geordie Williamson studied at the University of Sydney and received his doctorate from the University of Freiburg in 2008. He then conducted research at Oxford University until 2011 and headed a research group at the Max Planck Institute for Mathematics until 2016. After other shorter stints at the Hausdorff Centre for Mathematics in Bonn and at the Institute for Advanced Study, Princeton he was appointed Professor at the University of Sydney in 2017. He serves as the founding Director of the Sydney Mathematical Research Institute. Geordie Williamson is a Fellow of the British Royal Society and the Australian Academy of Science.

About the award

The Max Planck Society and the Alexander von Humboldt Foundation present the Max Planck-Humboldt Research Award, along with 1.5 million euros in prize money, to a researcher from abroad. 80,000 euros in personal prize money is also awarded. The focus here is on personalities whose work is characterised by outstanding potential for the future. The prize is intended to attract particularly innovative scientists working abroad to spend a fixed period of time at a German higher education institution or research facility. The Federal Ministry of Education and Research provides the funding for the award. The focus of the award alternates each year between natural and engineering sciences, life sciences, humanities and social sciences.

Die Fields-Medaille gilt als Nobelpreis der Mathematik, und in diesem Jahr ehrt die Internationale Mathematische Union damit Peter Scholze. Dem Professor am Hausdorff-Zentrum für Mathematik der Universität Bonn und Direktor am Bonner Max-Planck-Institut für Mathematik wurde der Preis auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Rio de Janeiro verliehen. Der 30jährige ist erst der zweite Deutsche, der ihn erhält.

„Ich bedanke mich für die außerordentliche Ehre, die mir durch die Fields-Medaille zuteilwird“, sagt Peter Scholze. Als erster deutscher Mathematiker wurde Gerd Faltings, ebenfalls Direktor am Max-Planck-Institut für Mathematik und Professor am Hausdorff-Zentrum für Mathematik, im Jahre 1986 mit dem Preis ausgezeichnet. Die Fields-Medaille wird alle vier Jahre als Anerkennung für „herausragende mathematische Leistungen für bestehende Arbeiten und für die Aussicht auf künftige Leistungen“ vergeben. Die Empfänger dürfen nicht älter als 40 Jahre sein. Die anderen drei Preisträger von 2018 sind Caucher Birkar (Universität Cambridge), Alessio Figalli (ETH Zürich) und Akshay Venkatesh (Universität Stanford und IAS Princeton).

Altersgrenzen solcher Art waren für Peter Scholze noch nie ein Problem: 2012 wurde er im Alter von 24 Jahren direkt nach Abschluss seiner Promotion an der Universität Bonn zum jüngsten ordentlichen Professor an einer deutschen Universität auf einen der renommierten Hausdorff-Lehrstühle der Universität Bonn berufen. Schon in diesem Alter galt er als einer der brillantesten Mathematiker auf seinem Gebiet. Heute, im Alter von 30 Jahren, kann Peter Scholze bereits auf eine herausragende Karriere und zahlreiche Preise zurückblicken, darunter den Leibniz-Preis der Deutschen Forschungsgemeinschaft. „Ich freue mich, dass wir Peter Scholze für das Max-Planck-Institut für Mathematik gewinnen konnten und es uns gemeinsam mit der Universität Bonn gelungen ist, ihn in Deutschland zu halten“, sagt Martin Stratmann, Präsident der Max-Planck-Gesellschaft.

Bahnbrechende Methoden am Schnittpunkt zwischen Zahlentheorie und Geometrie

Mit der Fields-Medaille würdigt die Internationale Mathematische Union die bahnbrechenden Beiträge von Peter Scholze zur Arithmetischen Geometrie. Dieses Gebiet der Mathematik verbindet Zahlentheorie mit Geometrie, untersucht also Eigenschaften der ganzen Zahlen mit geometrischen Methoden. Damit konnten bereits jahrhundertealte Probleme wie Fermats letzter Satz bewiesen werden, die mit rein zahlentheoretischen Methoden nicht gelöst werden konnten. Sie liefert auch die Grundlagen für viele moderne Verschlüsselungsmethoden.

Die Zahlentheorie versucht Fragen über ganze Zahlen zu beantworten, zum Beispiel ob es unendlich viele benachbarte Primzahlpaare wie 3 und 5, 5 und 7, 11 und 13 usw. gibt. Oder die Frage, wie die Primzahlen auf der Zahlengeraden verteilt sind. In der Geometrie werden Objekte wie Knoten, Flächen oder höherdimensionale Räume untersucht. Eine wichtige Frage ist, wann zwei geometrische Formen äquivalent sind, also in ihren wesentlichen geometrischen Eigenschaften übereinstimmen. Beispielsweise entwickeln Mathematiker Verfahren um herauszufinden, ob zwei Knoten, die dem ersten Augenschein nach verschieden sind, doch nach derselben Vorschrift geknüpft wurden. In der Arithmetischen Geometrie werden nun die ganzen Zahlen selbst als Punkte in größeren geometrischen Räumen aufgefasst.

Völlig neue Möglichkeiten für Zahlentheoretiker

Peter Scholze hat eine neue Klasse von geometrischen Strukturen, die sogenannten perfektoiden Räume entdeckt. Diese Räume sind zwar sehr groß und komplex, haben aber für viele Probleme nützliche geometrische Eigenschaften. Mit ihrer Hilfe konnten inzwischen eine ganze Reihe von alten schwierigen Problemen der Zahlentheorie gelöst werden.

„Die Auszeichnung und der ganz persönliche Erfolg von Peter Scholze ist auch für die Universität Bonn von größter Bedeutung“, sagt Michael Hoch, Rektor der Universität Bonn. „Ohne jeden Zweifel wird er die mathematische Forschung auch in Zukunft maßgeblich prägen.“ Peter Scholze wird seine Forschung in Bonn fortsetzen: „Die Rahmenbedingungen hier in Bonn sind großartig und die internationale Atmosphäre sehr inspirierend“, sagt der Wissenschaftler. Neben seinem Lehrstuhl am Hausdorff-Zentrum für Mathematik der Universität ist er erst vor kurzem zum Direktor am Max-Planck-Institut für Mathematik berufen worden. „Die Max-Planck-Gesellschaft möchte ihn bei seiner Forschung mit den bestmöglichen Ressourcen unterstützen“, sagt Martin Stratmann. So kann sich Peter Scholze ganz der Arbeit an den nächsten mathematischen Durchbrüchen widmen.

Am Dienstag, dem 7. August 2018 findet im Hausdorff-Zentrum für Mathematik in der Endenicher Allee 60 in Bonn um 10:00 Uhr eine Pressekonferenz mit Peter Scholze statt.

Das Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn ist eines der 82 Forschungsinstitute der Max-Planck-Gesellschaft. Das 1980 gegründete Institut hat sich rasch zu einem der renommiertesten Forschungsinstitute für Mathematik der Welt entwickelt. Es wird geleitet von den Direktoren Don Zagier, Gerd Faltings, Werner Ballmann, Peter Teichner und dem neuesten Direktoriumsmitglied Peter Scholze. Mit seiner kleinen Zahl an festen Forschungs- und Verwaltungsmitarbeitern zieht das Institut im Rahmen seines Gästeprogramms jedes Jahr gut 400 Forschungsmathematiker aus der ganzen Welt an und beherbergt stets um die 100 langfristige Gastwissenschaftler. Die Forschung am Institut deckt die meisten Gebiete der reinen Mathematik ab. Das Max-Planck-Institut für Mathematik ist eines der sechs Institute des Hausdorff-Zentrums für Mathematik.

Weitere Informationen über Peter Scholze finden Sie hier:
http://www.hcm.uni-bonn.de/scholze-background

Ansprechpartner für Medien:

Christian Blohmann
Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn
Telefon: +49-228-402302
E-Mail: blohmann@mpim-bonn.mpg.de

Foto:
Volker Lannert / University of Bonn

Danylo Radchenko, PhD student at the Max Planck Institute for Mathematics and the Bonn International Graduate School for Mathematics, on the famous sphere packing problem, his contribution to the proof in dimension 24, and on being a PhD student in Bonn.

You are co-author of a paper about the sphere packaging problem in dimension 24. Let’s start from the scratch: What’s the sphere packing problem about?

This problem goes way back to 1611 when Johannes Kepler discussed the question how to stack cannon balls most efficiently. He found the answer, but he couldn’t prove it. This is why it’s called the “Kepler conjecture”. Since then, physicists have been working with his solution. But for mathematicians it’s not enough to know the answer, we also have to find a way to deduce logically why it is indeed correct. The solution is actually pretty simple. Almost everyone will find it intuitively if you give them a bunch of balls and some time. But the mathematical proof of this is highly complex. Even for a normal three dimensional room, the proof was found only in 1998 by Thomas Hales.

And how did you get from there to dimension 24?
We did not start working on this problem with any particular dimension in mind. However, it was known for some time, from the work of Cohn and Elkies that the sphere packing problem in dimensions 8 and 24 is rather special, and the solution could follow in these dimensions from the existence of certain mysterious functions. Therefore, we were always focused on these special dimensions and the properties of those mysterious functions.

How did you solve this problem?

We have been working on it for several years already. There were phases when we were more focused on it and phases when we were less involved, but we never stopped. It was a group of three people: Maryna Viazovska (a former MPIM student), Andrii Bondarenko,and myself. We did a lot of computations over the time, but somehow didn’t make the progress we wanted. Then, last year, Maryna had the brilliant idea of not constructing the functions we actually needed, but slightly different ones using the theory of modular forms. She discovered that there is a direct relation between these two different fields. She made the real breakthrough. At first, I was skeptic and thought this couldn’t be true. But then I realized quickly that this was going to be the answer. Still, it took us more than a year of hard work until the solution was complete in dimension eight. I helped Maryna on some minor details and with some of the computer calculations, but the solution in this case is rightfully hers.

What was the next step?
Several days after Maryna had submitted her paper on the sphere packing problem in dimension eight, she called me and asked if we could now join forces with Henry Cohn, Abhinav Kumar, and Stephen D. Miller, who were also working on this problem, to solve the problem in dimension 24, which is more challenging for technical reasons. Of course I was happy to do so. We then completed the paper in one week of very intense work. At peak moments our team exchanged about ten emails every hour. We were in quite a hurry, because now that the solution in dimension eight was out there, others could have done it for dimension 24 as well.

Is this only of theoretical interest or are there some aspects of the sphere packaging problem that are related to practical issues?
It is for example related to coding theory and combinatorics. Improvements made for the sphere packing problem also stimulate new developments in those fields.  An object closely related to the solution in the 24-dimensional case, the so-called binary Golay code, was used by the NASA in the Voyager program to check if messages sent through long distances arrive correctly despite the high background noise in space.

In the end, I think that the most important result of our work is different: it is not the solution of the sphere packing problem itself, but the newly discovered connection to modular forms. This could lead to completely new developments. That’s very exciting, and we are currently trying to better understand this connection.

Is the sphere packaging problem part of your PhD project, too?
No. In my PhD, I’m working on the topic of functional equations for polylogarithms. That was a bit stressful because when the intense phase of working on the sphere packaging problem started, I was about to submit my PhD thesis. Of course, then I thought, the PhD could wait. But now I’ve submitted it, finally, and I will defend it soon.

You’re originally from the Ukraine. How did you come to Bonn?
Maryna invited me as a guest to the Max Planck Institute when she was a PhD student here herself and I was still a bachelor student. Back then I also met Don Zagier for the first time, who’s now my advisor. I was really impressed by the atmosphere here and wanted to return. It’s actually hard to find words for how nice it is. There just happens so much in mathematics in Bonn. You have really great colleagues to talk to, there are a lot of talks and events, and researchers from all over the world come to the Hausdorff Center for guest programs. That’s very inspiring. The mood here in Bonn definitely contributed significantly to my work.

Prof. Kari Vilonen has received one of the prestigeous Humboldt Research Awards of 2014 for his important contributions to geometric representation theory. He will use the award for a research stay at the Max Planck Institute for Mathematics in Bonn. His host is MPIM researcher Geordie Williamson.

Kari Vilonen received his PhD in 1983 from Brown University. After postdoctoral positions at MIT and MSRI from 1983-1986, he was Assistant Professor at Harvard University from 1986-1989. From 1989-2000 he held a faculty position at Brandeis University and was visiting professor at MPIM in 1998 and Harvard University in 1999. Since 2000 he is on the faculty at Northwestern University and since 2010 at Helsinki University. Kari Vilonen was awarded a Guggenheim Fellowship in 1997 and an AMS Centennial Fellowship in 1991. He was editor of Annals of Mathematics from 2003-2009 and is member of the Finnish Academy of Science and Letters.

The Humboldt research award is granted "in recognition of a researcher's entire achievements to date to academics whose fundamental discoveries, new theories, or insights have had a significant impact on their own discipline and who are expected to continue producing cutting-edge achievements in the future." Award winners are invited to spend a period of up to one year cooperating on a long-term research project with specialist colleagues at a research institution in Germany. The award is valued at 60,000 EUR.

Im Alter von nur 25 Jahren und 3 Monaten hat Moritz Rodenhausen seine Dissertation „Centralisers of polynomially growing automorphisms of free groups“ abgeschlossen. Dafür wurde ihm auf der Jahreshauptversammlung der Max-Planck-Gesellschaft im Juni dieses Jahres der Dieter-Rampacher-Preis 2013 für den jüngsten Doktoranden der gesamten Max-Planck-Gesellschaft verliehen. Der Preis ist mit 2400 Euro dotiert und wurde vom Präsidenten der MPG, Prof. Dr. Martin Stratmann, überreicht. Die Doktorarbeit wurde von Prof. Dr. Carl-Friedrich Bödigheimer von der Universität Bonn betreut und abschließend mit „sehr gut“ bewertet.

Der Dieter-Rampacher-Preis: Um einen Anreiz für eine frühzeitige Promotion zu geben, zeichnet die Max-Planck-Gesellschaft alljährlich ihren jüngsten Doktoranden - meist im Alter zwischen 25 und 27 Jahren - für seinen hervorragenden Promotionsabschluss mit dem Dieter-Rampacher-Preis aus. Der Preis wurde 1985 von Hermann Rampacher, Förderndes Mitglied der Max-Planck-Gesellschaft, gestiftet; er dient dem Andenken an seinen 1945 im Alter von zwanzig Jahren gefallenen Bruder Dieter Rampacher, Student der Physik an der TH Stuttgart. Seit 2011 hat Carsten A. Rampacher, der Sohn des Stifters und ebenfalls Förderndes Mitglied der Max-Planck-Gesellschaft, die Finanzierung des Preises übernommen.

(Photo credit: Denise Vernillo/MPG)

Werner Nahm, externes wissenschafliches Mitglied des Max-Planck-Instituts für Mathematik, wird die Max-Planck-Medaille 2013, die höchste Auszeichnung für theoretische Physik der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, verliehen. Werner Nahm hat auf dem Gebiet der Quantenfeldtheorie herausragende Leistungen vollbracht. Grundlegend waren seine Arbeiten zur Klassifikation der Super-Lie-Algebra, die Klassifikation der magnetischen Monopol-Lösungen in Yang-Mills-Theorien, und die in diesem Zusammenhang aufgestellten, nach ihm benannten „Nahm-Gleichungen“. Nahm hat Pionierarbeit bei der Entwicklung der so genannten „heterotischen Stringtheorie“ geleistet. Diese Theorie bildet heute die Basis für die Mehrzahl der gegenwärtig diskutierten phänomenologischen Anwendungen der Superstringtheorie. Die Auszeichnung besteht aus einer Goldmedaille, die im März 2013 während der DPG-Jahrestagung in Dresden überreicht wird.

Werner Nahm wurde 1972 in Bonn promoviert. Von dort wechselte er ans CERN, arbeitete am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn und ging 1986 als Associate Professor an die University of California (UC Davis). 1989 wurde er auf einen Lehrstuhl nach Bonn berufen, folgte aber 2002 einem Ruf als „Senior Professor“ an das Dublin Institute for Advanced Studies. Nahm zeichnet sich durch ein breites wissenschaftliches Interesse aus, das von der Mitarbeit im Arbeitskreis Energie der DPG bis zur Linguistik und Altertumswissenschaft reicht.

Der renommierte Mathematiker Curtis McMullen kommt mit einem Humbold-Forschungspreis für ein Semester aus Harvard ans Max-Planck-Institut für Mathematik nach Bonn.

Der mit 60.000 Euro dotierte Humboldt-Forschungspreis wird jedes Jahr an ausländische Wissenschaftler verliehen, deren grundlegende Entdeckungen, neue Theorien oder Erkenntnisse das eigene Fachgebiet auch über das engere Arbeitsgebiet hinaus nachhaltig geprägt haben und von denen auch in der Zukunft weitere wissenschaftliche Spitzenleistungen erwartet werden können. Die Preisträger werden zusätzlich eingeladen, selbst gewählte Forschungsvorhaben in Deutschland in Kooperation mit Fachkollegen durchzuführen

Curtis McMullen is Professor für Mathematik an der Harvard University und arbeitet auf dem Gebiet der Riemann-Flächen und komplexen Dynamik. Seine Forschung wurde bereits vielfach ausgezeichnet, unter anderem mit der Fields Medaille 1998.

Prof. Dr. Yuri Manin, emeritierter Direktor des Max-Planck-Instituts für Mathematik, erhielt am 1. Dezember 2010 den internationalen János-Bolyai-Preis für Mathematik der Ungarischen Akademie der Wissenschaften. Der Preis wurde 1902 eingerichtet und wird alle fünf Jahre für die beste mathematische Monographie der letzten 15 Jahre verliehen. Er besteht aus einem Preisgeld von 25'000 US$ und einer Medaille. Unter den früheren Preisträgern finden sich so rennomierte Wissenschaftler wie Henri Poincaré und David Hilbert. Prof. Manin wurde der Preis für „bahnbrechende Ergebnisse und Methoden“ in seinem Buch Frobenius manifolds, quantum cohomology, and moduli spaces verliehen. Darin werden mehrere Gebiete der Mathematik wie Algebra, Geometrie und Topology zusammenführt, um grundlegende Fragen der theoretischen Physik zu beantworten.

Mehr Informationen: Hungarian Academy of Sciences